Альтист, дирижёр. Окончил в 1948 г. Московскую консерваторию по классу альта. Выступал с многими прославленными музыкантами, играл в Квартете имени Чайковского, явился одним из создателей Квартета имени Бородина. В 1955 г. создал Московский камерный оркестр, где играл до 1977 года.
В 1977 г. имигрировал в Израиль, где руководил Израильским камерным оркестром. В 1979 г. переехал в Швейцарию, где прожил до конца своих дней.
Выступал с различными оркестрами в разных странах мира. Возглавлял Ванкуверский симфонический оркестр (1981-1983), руководил Борнмутским симфоническим оркестром (1982-1988).
В репертуаре Р. Баршая были произведения Баха, Моцарта, Вивальди, Гайдна, Генделя, Малера, П. Чайковского
и многих других прославденных композиторов; являлся автором нескольких оркестровок симфоний Д. Шостаковича, цикла фортепианных пьес Сергея Прокофьева «Мимолётности», завершил Десятую симфонию Густава Малера.
Лауреат премии «Граммофон» за запись концерта П.И. Чайковского № 2 с Бормунтским симфоническим оркестром (1988);
а за 15 симфоний Д.Д. Шостаковича, записанных Р. Баршаем с Оркестром WDR, он получил в 2003 г. две премии: Каннскую премию за классическую музыку и
премию «Запись Года» международного каталога Classics Today.
Скончался Р.Б. Баршай 2 ноября 2010 года в Базеле, похоронен на кладбище коммуны Рамлинсбург (округ Листаль, кантон Базель-Ланд, Швейцария. Перевод надписи на надгробье:
"Я потеряла мужа, который был моей душой, моим советчиком и моей опорой... с его смертью прерывается самый счастливый в мире брак. Он был для меня всем, и я существовала только благодаря ему".
